定理とは何か、その機能とその部分について説明します。さらに、ピタゴラス、タレス、ベイズなどの定理。
定理とは何ですか？
定理は 命題 それ、特定の仮定に基づいて、または 仮説、自明でないテーゼをテスト可能に主張することができます（その場合、それは 公理）。彼らは内で非常に一般的です 形式言語、 以下のような 算数 波 論理、それらは特定の正式なルールまたは「ゲーム」ルールの宣言を構成するためです。
定理は、 敷地内 そしてその 結論だけでなく、それを証明する基本的な鍵も提供します。実際、定理の証明は数学的論理の重要な部分です。1 つの定理から他の定理を導き出すことができ、形式システムの知識を拡大できるからです。
ただし、数学研究の分野では、「定理」という用語は、学界にとって特に関心のある命題にのみ使用されます。対照的に、一階論理では、証明可能なステートメント自体が定理です。
「定理」という言葉はギリシア語から来ています 定理、動詞から派生 仮説は、「考える」、「判断する」、または「反映する」を意味し、「理論」という言葉もここから来ています。
古代ギリシア人にとって、定理は慎重かつ慎重な観察と反省の結果であり、当時の多くの哲学者や数学者によって非常に頻繁に使用された用語でした.そこから、「定理」と「問題」という用語の学術的な区別も生まれます。前者は理論的であり、後者は実用的です。
すべての定理には次の 3 つの部分があります。
- 仮説 また 敷地内.これは、結論を導き出すことができる論理的な内容であり、したがって、結論に先行します。
- 論文または 結論.それは定理で述べられていることであり、前提によって提案されていることから形式的に証明することができます。
- 結果。それらは、定理から得られる演繹または二次および追加の定式化です。
ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理は、人類に知られている最も古い数学的定理の 1 つです。それはサモス島のギリシャの哲学者ピタゴラス (紀元前 569 年頃 – 紀元前 475 年頃) によるものとされているが、この定理はもっと古く、おそらくバビロニア起源であると考えられており、ピタゴラスが最初にそれを証明した.
この定理は、 三角形 長方形 (つまり、少なくとも 1 つの直角を持つ) の場合、三角形の直角の反対側 (斜辺) の長さの 2 乗は、他の 2 つの辺の長さの 2 乗の合計に常に等しくなります。 (足と呼ばれる)。これは次のように述べられています。
どの直角三角形でも、斜辺の 2 乗は脚の 2 乗の和に等しくなります。
また、次の式を使用します。
a2 + b2 = c2
どこ a よ b 脚の長さに等しい c 斜辺の長さまで。そこから、3 つの系、つまり、実用的なアプリケーションと代数的検証を行う派生式を導き出すこともできます。
a = √c2 – b2
b = √c2 – a2
c = √a2 + b2
ピタゴラスの定理は、ピタゴラス自身や、ユークリッド、パップス、バスカラ、レオナルド ダ ヴィンチ、ガーフィールドなどの他の幾何学者や数学者によって、歴史を通じて何度も証明されてきました。
タレスの定理
ギリシャの数学者ミレトスのタレス (紀元前 624 年頃 – 紀元前 546 年頃) に帰せられる、この 2 部構成の定理 (または同じ名前のこれら 2 つの定理) は、 ジオメトリー 次のように、三角形の
- タレスの第 1 の定理は、三角形の辺の 1 つが平行線を越えて続く場合、より大きな三角形が同じ比率で得られることを提案しています。これは次のように表現できます。
大きい三角形と小さい三角形の 2 つの比例三角形がある場合、大きい三角形の 2 つの辺 (A と B) の比率は、小さい三角形の同じ辺 (C と D) の比率と常に等しくなります。
A/B = C/D
ギリシャの歴史家ヘロドトスによれば、この定理は、巨大な器具を使わずに、エジプトのケオプスのピラミッドのサイズを測定するのに役立ちました。
- タレスの第 2 の定理は、直径が AC で中心が "O" (A と C とは異なる) の円周が与えられると、直角三角形 ABC は次のように形成できることを提案しています。
このことから、次の 2 つの結果が得られます。
- どの直角三角形でも、斜辺に対応する中央値の長さは常に斜辺の半分です。
- 直角三角形の外接円周は常に斜辺の半分に等しい半径を持ち、その外心は斜辺の中点に位置します。
ベイズの定理
ベイズの定理は、英国の数学者トーマス・ベイズ (1702-1761) によって提唱され、彼の死後の 1763 年に発表されました。 」。この定理は、の理論において非常に重要です。 確率であり、次のように定式化されます。
これは、全確率定理とは逆に、イベント (A) が発生するための特定の必要条件を満たしていることがわかっていれば、そのイベントの確率を計算できることを意味します。
その他の既知の定理
他の有名な定理は次のとおりです。
- プトレマイオスの定理。すべての巡回四辺形において、対角線の積の和は、それらの対角線の積に等しいと考えられます。
- オイラー・フェルマーの定理。彼はそう主張している a よ n それは 整数 親戚のいとこ、それから n に割る aᵩ(n)-1.
- ラグランジュの定理。彼はそう主張している ふ が閉区間 [a, b] 上の連続関数であり、開区間 (a, b) 上で微分可能である場合、点が存在します。 c (a, b) で、その点での接線が点 (a, b) を通る割線と平行になるように ふ(a)) および (b, ふ(b))。
- トーマスの定理。彼は、人々が状況を現実として確立すると、その状況はその結果として現実になると主張します。