素数とは何か、その歴史、用途と用途について説明します。また、合成数との違い。
素数をより小さな数に正確に分解することはできません。素数とは
の 算数、素数は 自然数 1 より大きい、1 とそれ自体でしか割り切れない。つまり、それらは正確には小さな数字に分解できない数であり、この点で残りの自然数 (つまり合成数) とは異なります。この状態は次のように知られています。 原始性.
たとえば、3 は 1 と 3 の間でしか割り切れないため素数ですが、4 は 2 で割り切れます。同様のことが素数である 7 でも起こりますが、2 と 4 で割り切れる 8 では起こりません。
素数のリストは無限であり、次の法則に従うようです。 確率、つまり、その出現頻度は厳密で規則的な規則に従っていません。
そのため、素数は古くから数学者や思想家による研究の対象となっており、その多くは素数の分布の法則にある種の啓示や神聖なメッセージを見出すと考えてきました。実際、リーマン予想やゴールドバッハ予想など、解決が最も困難な数学的問題のいくつかは素数に関係しています。
素数の歴史
素数の研究は古代に始まりました。彼らの知識の証拠は、人類が出現するずっと前の文明で発見されています。 書き込み、約20,000年前、および古代からの粘土板に メソポタミア.バビロニア人とエジプト人の両方が強力な 知識 素数が考慮された数学。
しかし、素数に関する最初の正式な研究は、紀元前 300 年頃の古代ギリシャで登場しました。 C.、そしてそれは アイテム Euclidの（VIIからIXまでの彼のボリュームで）。同じ頃、エラトステネスのふるいとして知られる、素数を見つけるための最初の有用なアルゴリズムが登場しました。
しかし、これらの研究が西洋で再び関連するようになったのは 17 世紀になってからでした。 定理 ド フェルマーとフランスの修道士マリン メルセンヌ (1588-1648) は、2p - 1 の形の素数に専念したため、それらは今日「メルセンヌ数」として知られています。
レオンハルト・オイラー、ベルンハルト・リーマン、エイドリアン＝マリー・ルジャンドル、カール・フリードリッヒ・ガウス、その他のヨーロッパの数学者たちの研究に加えて、これらの研究のおかげで、素数を見つけるための最初の現代的な方法が 19 世紀に登場し、今日適用された方法の前身となりました。 コンピュータ 科学的。
素数の用途と応用
素数には、次の用途と用途があります。
- 数値および数学研究の分野では、素数は「相対素数」の概念を通じて、複素数の研究に使用されます。それらは、「有限体」の定式化や星形ポリゴンの幾何学にも使用されます。 n
- の コンピューティング、素数はキーの定式化に使用されます アルゴリズム 計算。
素数表
2 と 1013 の間には 168 個の素数があります。
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 |
| 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 |
| 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 |
| 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 |
| 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 |
| 151 | 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 |
| 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 |
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
| 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 |
| 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 |
| 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 |
| 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
| 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 |
| 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 |
| 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 | 661 |
| 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 |
| 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
| 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 |
| 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 |
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 |
| 971 | 977 | 983 | 991 | 997 | 1009 | 1013 |
素数と合成数の違い
その名前が示すように、合成数は対称的かつ完全な方法で他の 2 つの数で構成されています。したがって、合成数を他の小さい数で割り、正確な結果を得ることができます。一方、素数は 1 とそれ自体でしか割り切れないため、実際には他の数で「構成」されているのではなく、素数自体が特異点を構成しています。
したがって、たとえば、数 16 は 8 (16 を 2 で割る)、4 (16 を 4 で割る)、および 2 (16 を 8 で割る) で構成されますが、数 13 は他の数で構成されることはありません。 1 とそれ自体でのみ割ることができます。
ナンバー1
数 1 は、今日では素数でも合成数でもないと見なされているため、数学では例外的なケースです。オイラー関数や除数関数などの素数の性質のほとんどを共有していなくても、19 世紀までは素数であると考えられていました。この意味で、現在の傾向は、素数のリストから 1 を除外することです。